Read e-book online Aufgabensammlung und Klausurentrainer zur Optimierung: Fur PDF

By Borgwardt K.H., Tinkl M., Worle T.

ISBN-10: 3834808784

ISBN-13: 9783834808783

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Sei also (P ) zul¨assig (¬i) und (P ) beschr¨ankt (¬ii). Annahme: (iii) ist verletzt, bzw. es gibt keinen Optimalpunkt. Unsere Konstellation l¨asst sich in Ungleichungen formulieren: (¬i) (¬ii) (¬iii) Ax ≤ b ist l¨osbar. Es gibt ein reelles β := {sup cT x | Ax ≤ b}, das heißt ∀ ε > 0 ist Ax ≤ b mit cT x > β − ε l¨osbar. Das Supremum β wird nicht angenommen, das heißt Ax ≤ b, cT x ≥ β ist nicht l¨osbar. 3 L¨osungen zu linearen Ungleichungssystemen 39 Nach Gale folgt also aus (¬i): Ees gibt kein y mit AT y = 0, bT y < 0, y ≥ 0.

Am aber affin unabh¨angig sind, folgt mit Teil a): λ = 0 mit λi ai = 0 und λi = 0, also muss λ = (0, . . , 0) gelten. Damit ist dann auch die lineare Unabh¨angigkeit von a1 , . . , ak gezeigt. Insgesamt haben wir nun gezeigt, dass ¬I impliziert, dass affiner Rang(a1 , . . , am ) = dim(lin(a1 , . . , am )), also II. Noch zu zeigen: Unvereinbarkeit von I und II Sei 0 ∈ aff(a1 , . . , am ) und k = affiner Rang(a1 , . . , am ). O. B. d. A. seien a1 , . . , ak affin unabh¨angig und ak+1 , . . , am affin abh¨angig von a1 , .

Dann gibt es zu jedem x ∈ cone(S) d Punkte s1 , . . , sd ∈ S, so dass gilt: x ∈ cone(s1 , . . , sd ). 14 (Satz von Caratheodory f¨ur konvexe Mengen) Sei S eine Teilmenge von K n und dim S = d. Dann existieren zu jedem x ∈ conv(S) d + 1 Punkte s1 , . . , sd+1 , so dass x ∈ conv(s1 , . . , sd+1 ). 1 a) Betrachte folgende Teilmenge des R5 : M = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } mit: v1 = (1, 0, 0, 0, 0)T v2 = (0, 1, 1, 0, 0)T v3 = (0, 1, 1, 2, 0)T , v4 = (0, 0, 0, 0, 1)T v5 = (1, 2, 2, 2, 1)T Bestimmen Sie (i) die Dimension von lin(M ), (ii) den affinen Rang von M , (iii) die affine Dimension von aff(M ).

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Aufgabensammlung und Klausurentrainer zur Optimierung: Fur die Bachelorausbildung in mathematischen Studiengangen by Borgwardt K.H., Tinkl M., Worle T.


by Donald
4.5

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