Conformal Geometry: A Publication of the Max-Planck-Institut by Ravi S. Kulkarni (auth.), Ravi S. Kulkarni, Ulrich Pinkall PDF

By Ravi S. Kulkarni (auth.), Ravi S. Kulkarni, Ulrich Pinkall (eds.)

ISBN-10: 3322906167

ISBN-13: 9783322906168

ISBN-10: 3528089822

ISBN-13: 9783528089825

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The topology of H as a fiber-bundle is the manifold-topology, so it coincides with the subspace-topology induced from M(n). So H is an open subset of M(n). It is easy to see that both H n M+(n) and H n M_(n) are non-empty. 51 As for elliptics, for definiteness, we restrict to the component M+(n). Consider the case n odd. 5) E~(n) = {g E En M+(n) , g has no rotation angle = O}, (n odd). Then each g in E~ (n) has a unique fixed point in D n +1. 6) g E E~( n) f-+ the fixed point of g in D n +1 makes E~ (n) a fiber-bundle with base D n +1 and fiber ~ an open, dense subset in O+(n).

Since any two points in D n+ 1 can be connected by a unique geodesic it also follows that the fixed point set of a group of hyperbolic isometries is connected, so such a set is of the form Dk - a k-dimensional hyperplane in Dn+1. For k = 0, DO is a point. 'Ve shall also often use the following simple fact: in any action of a group G on a space X the fixed point set of a subgroup H in X is invariant under the normalizer of H in G. 3) Assertion 1: If G contains a non-trivial compact normal subgroup H then G is contained in some Co(k), k < n.

In Nielsen's and Van Vleck's cases one can make some clever computations involving 2x2 matrices and elementary geometric arguments. However, in general some use of the theories of Lie groups and algebraic groups seems unavoidable, and perhaps there is not much point in avoiding it. In our proofs we have freely appealed to some of the standard structure- and classification- parts of these theories. These proofs are susceptible to further generalizations. 4) In §6 we prove that unless a subgroup of M(n) has a fixed point in nn+l or sn it must contain a hyperbolic element.

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by Mark
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